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levysoft · 2 months

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Intorno a noi avvengono processi casuali. Un giorno piove ma il giorno dopo no; azioni e obbligazioni guadagnano e perdono valore; gli ingorghi si fondono e scompaiono. Poiché sono governati da numerosi fattori che interagiscono tra loro in modi complicati, è impossibile prevederne l’esatto comportamento. Invece, li pensiamo in termini di probabilità, caratterizzando i risultati come probabili o rari.

Oggi, il teorico francese della probabilità Michel Talagrand è stato insignito del Premio Abel, uno dei più alti riconoscimenti in matematica, per aver sviluppato una comprensione profonda e sofisticata di tali processi. Il premio, consegnato dal re di Norvegia, è modellato sul Nobel e ammonta a 7,5 milioni di corone norvegesi (circa 700.000 dollari). Quando gli è stato detto che aveva vinto, "la mia mente si è svuotata", ha detto Talagrand. “Il tipo di matematica che faccio non era affatto di moda quando ho iniziato. Era considerata matematica inferiore. Il fatto che mi sia stato assegnato questo premio è la prova assoluta che non è così”.

Altri matematici sono d'accordo. Il lavoro di Talagrand “ha cambiato il modo in cui vedo il mondo”, ha affermato Assaf Naor dell'Università di Princeton. Oggi, ha aggiunto Helge Holden , presidente del comitato del Premio Abel, “sta diventando molto popolare descrivere e modellare eventi del mondo reale mediante processi casuali. La cassetta degli attrezzi di Talagrand si presenta immediatamente."

Talagrand vede la propria vita come una catena di eventi improbabili. A Lione superò a malapena la scuola elementare: sebbene fosse interessato alla scienza, non gli piaceva studiare. Quando aveva 5 anni, perse la vista dall'occhio destro a causa del distacco della retina; all'età di 15 anni subì tre distacchi di retina nell'altro occhio, costringendolo a trascorrere un mese in ospedale con gli occhi bendati, temendo di diventare cieco. Suo padre, un professore di matematica, andava a trovarlo ogni giorno, tenendo la sua mente occupata insegnandogli la matematica. “È così che ho imparato il potere dell’astrazione”, ha scritto Talagrand nel 2019 dopo aver vinto il Premio Shaw, un altro importante premio di matematica che prevede una taglia di 1,2 milioni di dollari. (Talagrand sta utilizzando parte di questo denaro, insieme alle sue vincite Abel, per fondare un suo premio, "riconoscendo i risultati dei giovani ricercatori nelle aree a cui ho dedicato la mia vita.")

Ha saltato sei mesi di scuola mentre si riprendeva, ma è stato ispirato a iniziare a concentrarsi sui suoi studi. Eccelleva in matematica e, dopo essersi laureato nel 1974, è stato assunto dal Centro nazionale francese per la ricerca scientifica, il più grande istituto di ricerca d'Europa, dove ha lavorato fino al suo pensionamento nel 2017. Durante quel periodo ha conseguito il dottorato; si innamorò a prima vista della sua futura moglie, una statistica (le fece la proposta di matrimonio tre giorni dopo averla incontrata); e gradualmente sviluppò un interesse per la probabilità, pubblicando centinaia di articoli sull'argomento.

Non era preordinato. Talagrand iniziò la sua carriera studiando gli spazi geometrici ad alta dimensione. "Per 10 anni non avevo scoperto in cosa ero bravo", ha detto. Ma non si pente di questa deviazione. Alla fine lo ha portato alla teoria della probabilità, dove “avevo quest’altro punto di vista… che mi ha dato un modo per guardare le cose in modo diverso”, ha detto. Gli ha permesso di esaminare processi casuali attraverso la lente della geometria ad alta dimensione.

"Utilizza la sua intuizione geometrica per risolvere questioni puramente probabilistiche", ha detto Naor.

Un processo casuale è un insieme di eventi i cui esiti variano a seconda del caso in un modo che può essere modellato, come una sequenza di lanci di una moneta, o le traiettorie degli atomi in un gas, o i totali delle precipitazioni giornaliere. I matematici vogliono comprendere la relazione tra i risultati individuali e il comportamento aggregato. Quante volte devi lanciare una moneta per capire se è giusta? Un fiume strariperà dalle sue sponde?

Talagrand si concentrò sui processi i cui risultati sono distribuiti secondo una curva a campana chiamata gaussiana. Tali distribuzioni sono comuni in natura e hanno una serie di proprietà matematiche desiderabili. Voleva sapere cosa si può dire con certezza sui risultati estremi in queste situazioni. Così dimostrò una serie di disuguaglianze che ponevano limiti rigidi superiori e inferiori ai possibili risultati. “Ottenere una buona disuguaglianza è un’opera d’arte”, ha detto Holden. Quest'arte è utile: i metodi di Talagrand possono fornire una stima ottimale, ad esempio, del livello più alto che un fiume potrebbe raggiungere nei prossimi 10 anni, o della magnitudo del potenziale terremoto più forte.

Quando abbiamo a che fare con dati complessi e ad alta dimensionalità, trovare tali valori massimi può essere difficile.

Supponiamo che tu voglia valutare il rischio di un'esondazione del fiume, che dipenderà da fattori come precipitazioni, vento e temperatura. Puoi modellare l'altezza del fiume come un processo casuale. Talagrand ha trascorso 15 anni sviluppando una tecnica chiamata concatenamento generico che gli ha permesso di creare uno spazio geometrico ad alta dimensione correlato a un processo così casuale. Il suo metodo "ti dà un modo per leggere il massimo dalla geometria", ha detto Naor.

La tecnica è molto generale e quindi ampiamente applicabile. Supponiamo che tu voglia analizzare un enorme set di dati ad alta dimensione che dipende da migliaia di parametri. Per trarre una conclusione significativa, è necessario preservare le caratteristiche più importanti del set di dati caratterizzandolo in termini di pochi parametri. (Ad esempio, questo è un modo per analizzare e confrontare le strutture complicate di diverse proteine.) Molti metodi all'avanguardia ottengono questa semplificazione applicando un'operazione casuale che mappa i dati ad alta dimensione in uno spazio a dimensione inferiore . I matematici possono utilizzare il metodo di concatenamento generico di Talagrand per determinare la quantità massima di errore introdotta da questo processo, consentendo loro di determinare le probabilità che alcune caratteristiche importanti non vengano preservate nell'insieme di dati semplificato.

Il lavoro di Talagrand non si è limitato solo ad analizzare i migliori e i peggiori risultati possibili di un processo casuale. Ha anche studiato cosa succede nel caso medio.

In molti processi, singoli eventi casuali possono, nel complesso, portare a risultati altamente deterministici. Se le misurazioni sono indipendenti, i totali diventano molto prevedibili, anche se ogni singolo evento è impossibile da prevedere. Ad esempio, lancia una moneta equilibrata. Non puoi dire nulla in anticipo su ciò che accadrà. Giralo 10 volte e otterrai quattro, cinque o sei teste, vicino al valore atteso di cinque teste, circa il 66% delle volte. Ma lanciando la moneta 1.000 volte, otterrai tra 450 e 550 teste il 99,7% delle volte, un risultato che è ancora più concentrato attorno al valore atteso di 500. "È eccezionalmente netto intorno alla media", ha detto Holden.

"Anche se qualcosa ha così tanta casualità, la casualità si annulla", ha detto Naor. "Quello che inizialmente sembrava un disastro orribile è in realtà organizzato."

Questo fenomeno, noto come concentrazione della misura, si verifica anche in processi casuali molto più complicati. Talagrand ha elaborato un insieme di disuguaglianze che permettono di quantificare tale concentrazione, e ha dimostrato che essa si presenta in molti contesti diversi. Le sue tecniche segnarono un allontanamento dal lavoro precedente nell'area. Dimostrare la prima disuguaglianza di questo tipo, ha scritto nel suo saggio del 2019, è stata “un’esperienza magica”. Era “in uno stato di costante euforia”.

È particolarmente orgoglioso di una delle sue successive disuguaglianze di concentrazione. "Non è facile ottenere un risultato che provi a pensare all'universo e che allo stesso tempo abbia una dimostrazione di una pagina facile da spiegare", ha detto. (Ricorda con gioia che una volta usò un servizio di taxi il cui proprietario riconobbe il suo nome, avendo imparato la disuguaglianza durante una lezione sulle probabilità alla business school. “È stato straordinario”, ha detto.)

Come il suo metodo di concatenamento generico, le disuguaglianze di concentrazione di Talagrand appaiono in tutta la matematica. "È incredibile quanto lontano si arriva", ha detto Naor. “Le disuguaglianze di Talagrand sono le viti che tengono insieme le cose”.

Considera un problema di ottimizzazione in cui devi ordinare elementi di dimensioni diverse in contenitori: un modello di allocazione delle risorse. Quando hai molti articoli, è molto difficile calcolare il numero minimo di contenitori necessari. Ma le disuguaglianze di Talagrand possono dirti di quanti contenitori avrai probabilmente bisogno se le dimensioni degli articoli sono casuali.

Metodi simili sono stati utilizzati per dimostrare fenomeni di concentrazione in combinatoria, fisica, informatica, statistica e altri contesti.

Più recentemente, Talagrand ha applicato la sua comprensione dei processi casuali per dimostrare un'importante congettura sui vetri di spin, materiali magnetici disordinati creati da interazioni casuali, spesso contrastanti. Talagrand era frustrato dal fatto che, sebbene i vetri di spin fossero matematicamente ben definiti, i fisici li capissero meglio dei matematici. “Era una spina nel nostro piede”, ha detto. Dimostrò un risultato – sulla cosiddetta energia libera dei vetri di spin – che fornì la base per una teoria più matematica.

Nel corso della sua carriera, la ricerca di Talagrand è stata caratterizzata da “questa capacità di fare un passo indietro e trovare principi generali riutilizzabili ovunque”, ha affermato Naor. “Rivisita e rivisita e pensa a qualcosa da tutti i tipi di prospettive. E alla fine mette a punto un’intuizione che diventa un cavallo di battaglia, utilizzato da tutti”.

"Mi piace capire molto bene le cose semplici, perché il mio cervello è molto lento", ha detto Talagrand. "Quindi ci penso per molto, molto tempo." È guidato, ha detto, dal desiderio di “comprendere qualcosa in profondità, in modo puro, il che rende la teoria molto più semplice. Quindi la generazione successiva potrà iniziare da lì e fare progressi alle proprie condizioni”.

Negli ultimi dieci anni ha raggiunto questo obiettivo scrivendo libri di testo, non solo sui processi casuali e sui vetri di spin, ma anche su un'area in cui non lavora affatto, la teoria quantistica dei campi. Avrebbe voluto saperne di più, ma si rese conto che tutti i libri di testo che riusciva a trovare erano scritti da e per fisici, non matematici. Quindi ne ha scritto uno lui stesso. “Quando non puoi più inventare le cose, puoi spiegarle”, ha detto.

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